Hallo Carl,

$eintraege = mysql_num_rows($result);
while ($row = mysql_fetch_row($result))

wenn du hier mysql_fetch_row($result) verwendest musst du...

{
$beitrags_id = $row[0];

...hier nicht $row[0] verwenden, sondern $row['id'], was auf Dauer etwas übersichtlicher ist.

if($rowcount != 0)
 {
  $anzahl_kommentare = $rowcount;
 }
 else
 {
  $anzahl_kommentare = 0;
 }

warum schreibst du nicht nur $anzahl_kommentare = $rowcount? wenn $rowcount = 0 ist, soll $anzahl_kommentare schließlich null sein.

Kommentare: [<? echo?><a href="index.php?section=kommentare&<? $beitrags_id?>"><? echo"$anzahl_kommentare" ?></a>]

oje, was soll den dass werden? ich würde nicht ständig zwischen html- und php-Teil umschalten, das wird etwas unübersichtlich - verwende besser sowas:
Kommentare: [<?php echo "<a href="index.php?section=kommentare&".$beitrags_id."">".$anzahl_kommentare."</a>";

index.php?section=kommentare&1

was willst du mit der 1 dahinter? du solltest hinter das & vielleicht eher sowas wie id=1 o.ä. schreiben

sondern nur so:
index.php?section=kommentare&

ich vermute jetzt mal, dass in $beitrags_id nichts drinsteht (einfach mal echo $beitrags_id; hinschreiben, und schauen was dabei rauskommt)

dass du in der index.php auf section=kommentare mit $_GET["section"] zugreifen musst, weißt du?

Grüße aus Nürnberg
Tobias