echo $begrüßung;

leider hab ich jetzt statt der umlaute wie ü ein ü stehen.

Dann wurde der Dump sicherlich UTF-8-kodiert ausgegeben.

liegt sicherlich am zeichensatz, nur wo kann ich das einstellen?
der export-dump kommt von einer win-maschine und soll auf eine linux-büchse.

Das Betriebssystem spielt dabei keine Rolle. Die Version des Ziel-MySQL-Servers ist ausschlaggebend.
Wenn das ebenso wie die Daten erzeugende Maschine mindestens 4.1 ist, dann solltest du beim Import mal die Option --default-character-set=utf8 probieren.
Wenn du in eine Version 4.0 und darunter importieren möchtest, solltest du beim Exportieren den Zeichensatz latin1[*] wählen. Wenn das nicht geht, kannst du die Datei in einem UTF-8-fähigen Editor öffnen und unter ISO-8859-1 speichern. Unter Windows eignet sich dazu beispielsweise Ultraedit (Datei -> Konvertieren -> UTF8 nach ASCII) und unter Linux z.B. Kate (nach Öffnen der Datei ggf. unter Extras -> Kodierung -> Unicode(utf8) wählen, und beim "Speichern unter" ISO-8859-1 wählen.)

echo "$verabschiedung $name";

[*] Unter der Annahme, dass deine Nicht-ASCII-Zeichen alle mit ISO-8859-1/latin1 darstellbar sind, was der Fall wäre, wenn du nur deutschsprachige Texte verwendest.