echo $begrüßung;

$result = mysql_query("SELECT name FROM $Tabelle", $DatabasePointer);
jetzt gibt es ein Result-Handle. Das Result-Handle enthält n Zeilen und eine Spalte namens 'name'.

Nicht unbedingt. Im Fehlerfall gibt mysql_query() false statt eines Result-Handles zurück. Dies sollte nicht unterschlagen werden, da false für die nachfolgenden Fetch-Befehle ein ungültiges Argument darstellt, ganz zu schweigen davon, dass der weitere Programmablauf vermutlich unsinnig wird.

Auch beim Connect und beim Selektieren der Datenbank können Fehler auftreten, die nicht ignoriert werden sollten.

Ein Beispiel einer Abfrage mit Fehlerberücksichtigung gibt es im Handbuchkapitel zu MySQL.

echo "$verabschiedung $name";