Hello out there!

Wenn in ℝ Wurzeln aus negativen Radikanten definiert wären, müsste die Rechenregel in ℂ so gestaltet sein, dass für z ∈ ℝ ⊂ ℂ dasselbe rauskommt.

nein, immer noch nicht.
wenn du die komplexen zahlen nicht benutzt, brauchst du darauf keine acht geben.

Ich benutze sie doch! Nehmen wir die komplexe Zahl -1. -1 ∈ ℝ und wegen
ℝ ⊂ ℂ ist auch -1 ∈ ℂ.

Die 1/3-Potenz der (komplexen) Zahl -1 ist ½ + i ½ √3, nicht -1.
Da ½ + i ½ √3 ∉ ℝ, ist (-1)^(⅓) in ℝ nicht definiert.

Na gut,

das ist eine von _mehreren_ moeglichen ansichten.

Eine andere wäre, dass mit den Zahlenbereichserweiterungen bei ℝ Schluss ist und ℂ′ was völlig anderes ist (eben sowas wie ℝ²) und tatsächlich ℝ ⊄ ℂ′ gilt. Dann können in ℝ und ℂ′ völlig unabhängig voneinander verschiedene Rechenregeln gelten.

Elegant finde ich diese Möglichkeit nicht.

Und wenn Mathematiker eins lieben, dann Eleganz.

dann lieber in ℝ keine Wurzeln aus negativen Radikanten definieren.
je nach anwendung kann es aber sinnvoll sein.

Ich dächte, Mathematik wäre etwas Grundsätzliches und mitnichten kontextsensitiv. Wo kämen wir dahin, wenn jede Anwendung ihre eigene Mathematik hätte?

See ya up the road,
Gunnar