echo $begrüßung;

D.h. also wenn ich die Seite zum ersten mal lade ohne das ein Request sien könnte, werden 6 Klassen umsonst includet, initialisiert und in deren Konstruktoren mind 3 IF-Abfragen bearbeitet. Sprich 18 IF-Abfragen umsonst.
Wie löst ihr sowas?

Diverse Probleme treten immer wieder auf, weswegen man dafür Lösungsmuster beschrieben hat. Das Pattern für dein Problem nennt sich Front Controller. Der nimmt als alleinige Instanz den Request entgegen, wertet signifikante Bestandteile davon aus und übergibt die Ausführung gezielt weiter. Die Ermittlung des Zieles kann man einem Routingmechanismus übergeben. Wenn sich das Ziel einfach ermitteln lässt, kann man das natürlich auch im Front Controller direkt erledigen. Der Front Controller muss nicht unbedingt eine Klasse sein. Er lässt sich auch als Funktion oder in einfachen Fällen als Geradeaus-Script in der index.php (oder wie auch immer man sie nennt) implementieren.

In modernen Frameworks, beispielsweise dem Zend Framework, wird ein Front Controller zusammen mit dem MVC-Pattern (das die Geschäftslogik implementiert) eingesetzt.

echo "$verabschiedung $name";