Das Problem ist das, wenn jemand die Formularfelder (Name, E-Mail, Nachricht)ausfüllt und abschickt bekomme ich zwar eine E-Mail aber leider ohne die von ihm ausgefüllten Felder.

Ja, denn aus Spaß an der freude befüllt sich die Variable $Mail_Inhalt nicht mit den Werten, die das Script per POST übergeben bekommt.

Ein einfaches print_r($_POST) an einer beliebigen Stelle im PHP-Teil deines Codes wäre mal ein Anfang - selbstredend nur zu Debug-Zwecken.

Dir scheinen hierbei fundamentales Wissen zu fehlen - besonders wenn es darum geht, was im Hintergrund passiert.

Könnt ihr mir helfen und posten was der Fehler dabei ist?

Wenn du versprichst, dass du das Formular erst produktiv einsetzt, wenn es fertig und sicher ist - in der aktuellen Form ist es eine Spamschleuder die an eine ungültige E-Mail-Adresse sendet und keinen großen Schaden anrichten kann.

Wenn du ohne Erfahrung einen Formmailer baust, kann das aber schnell böse enden.

Selfhtml hat übrigens einen Artikel dazu.
http://aktuell.de.selfhtml.org/artikel/php/form-mail/