wir haben Anfang des Jahres einen Entwickler an Bord unseres Startups geholt.
Er wurde mit Anteilen kompensiert, jedoch wurde nichts schriftlich festgehalten.
Es gibt also keinen Arbeitsvertrag und keine Abtretung der Nutzungsrechte ...

Doch, wenn auch keinen Arbeitsvertrag im strengen Sinne. Er hat die Arbeit für euch gemacht, also hat er ein Nutzungsrecht eingeräumt. Fraglich ist der Umfang, aber welchen Zweck* ihr verfolgt habt, wißt ihr selber ab besten. Die Vergütung ist auch geregelt, fraglich ist, wie ihr mit dem Ausscheiden umgeht. Abfindung? Veräußerung des Anteils? Einigt euch oder streitet euch.

Jetzt hat er entschieden keine Lust mehr auf die Sache zu haben da er wieder anfangen möchte zu studieren. Nun ist die Frage, bei wem die Nutzungsrechte liegen.

*
"§ 31 Einräumung von Nutzungsrechten
...
(5) Sind bei der Einräumung eines Nutzungsrechts die Nutzungsarten nicht ausdrücklich einzeln bezeichnet, so bestimmt sich nach dem von beiden Partnern zugrunde gelegten Vertragszweck, auf welche Nutzungsarten es sich erstreckt. Entsprechendes gilt für die Frage, ob ein Nutzungsrecht eingeräumt wird, ob es sich um ein einfaches oder ausschließliches Nutzungsrecht handelt, wie weit Nutzungsrecht und Verbotsrecht reichen und welchen Einschränkungen das Nutzungsrecht unterliegt."
§ 31 UrhG