Ajax ist gedacht um eine Seite nicht komplett neu zu laden, sondern Inhalte per Javascript zu senden und empfangen und diese dann nach Bedarf weiter zu verarbeiten.
Also genau das was du willst und genau das was du bereits getan hast. Du beschreibst einige Schritte die du zudem doch alle schon irgendwie als Code umgesetzt hast. Wo genau hängt es?

ich müsste nun wohl was ich zuvor schon mit Ajax hinbekommen habe (also ohne die Seite neu zu laden) eine Tabelle hinzuzufügen

Du hast nicht per Ajax etwas hinzugefügt sondern mit Javascript. Per Ajax wurde dieses etwas geladen.
Die Feldinhalte hast du mit Javascript ausgelesen und per Ajax versendet. Das auslesen ist schon vorhanden, jetzt musst du die Werte nur nicht versenden sondern was anderes damit tun.