Hi!
Du bist nicht weiter drauf eingegangen, wie genau du das Script einbindest. (Weshalb ich aus Zeitgründen auch erstmal nicht weiter auf eventuelle Scriptfehler geschaut hab)

Variante 1 funktioniert nicht?

<p id="datum">
  <script type="text/javascript">
    document.write("DATUM");
  </script>
</p>

Variante 2 funktioniert auch nicht?

JS-Datei datum.js:
document.write("DATUM");

HTML:
<p id="datum">
  <script type="text/javascript" src="datum.js"></script>
</p>

funktioniert auch nicht?

Was sagt der Browser? Gibts keine Fehlermeldungen? (in der Statusleiste unten)

Variante 3 mit Funktion und DOM-Manipulation spar ich grad mal.

Hast Du Javascript aktiviert?