echo $begrüßung;

Demnach ist die Funktion überall deklariert :(
Wie kann ich diesen Gültigkeitsbereich einschränken?

Das geht nicht. Klassen und selbständige Funktionen sind immer global.

Da PHP immer im Quelltext vorliegt, sind zum Beispiel auch Zugriffsmodifikatoren von Klassen (public, private, protected) nur als Vorschläge zu sehen, denn wenn der Endanwender das anders haben möchte, muss er ja einfach nur den Quelltext ändern. Deswegen sind Zugriffsmodifikatoren auch nicht als Sicherheitsfeature geplant.

echo "$verabschiedung $name";