echo $begrüßung;

sprich ich habe wirklich sonst alles außerhalb des Domain-bereiches.
Die index.php inkludiert CM.class.php und die Admin-Seite setzte vorher einen globale Variable auf admin und inkludiert CM.class.php?
Innerhalb von CM.class.php setze ich den include path.

Wenn du ihn von der Dateisystemwurzel ausgehend setzt, brauchst du keine Sonderbehandlung für unterschiedliche Script-Startverzeichnisse. Selbst dann nicht, wenn du ihn erst in der CM.class.php einstellst. Allerdings musst du dann immer noch diese Datei unter Beachtung ihrer Position im Filesystem inkludieren.

Ich halte es für besser, den include_path generell, außerhalb der Scripte einzustellen. Wenn PHP als Modul läuft, kann man in der Per-Verzeichnis-Konfigurationsdatei (.htaccess) Werte ändern, wenn das der Provider zulässt. Bei der CGI-Variante kann man meist eine eigene php.ini in das Script-Start-Verzeichnis legen, die dann statt der System-php.ini verwendet wird.

Kann ich die vorbelegung von include-path bestehen lassen? Als nur um meinen Eintrag ergänzen?

Das ist sogar empfehlenswert. Es gibt sogar eine Konstante, die betriebssystemabhängig das Pfad-Trennzeichen enthält.

echo "$verabschiedung $name";