echo $begrüßung;

$connectID = mysql_connect($hostUrl, $userName, $password)
  or die ("Tut mir leid, kann keine Verbindung zur Datenbank aufbauen");
mysql_select_db("xxx", $connectID)
  or die ("Auswahl der Datenbank nich Möglich");
$myDataID = mysql_query("SELECT * FROM members WHERE alias = '$member'", $connectID)
  or die ("Auswahl von Datenbank nicht möglich");

Alle drei Vorgänge sind kein ausreichender Grund, Script-Selbsmord zu begehen. Ein geordnetes Beenden sollte auch im Fehlerfall drin sein.

Da ich mir die Daten von einem Mitglied hole dessen Name ich durch den Link bekomme, also z.B. ?member=blabla weiß ich nicht wie ich es machen soll dass das Script auf die error.php geht wenn oben ein nicht vorhandener User eingeben wurde.

Wenn eine Abfrage keine Ergebnismenge liefert, liefert schon der erste Fetch-Versuch ein false zurück. Mit einer Fallunterscheidung (if) kann man das auswerten und entsprechend reagieren, beispielsweise die error.php inkludieren.

Wenn du den Datenzugriff kapselst und eine fertig abgefrage Ergebnismenge in einem Array zurücklieferst, kannst du das auf "leer" testen.

echo "$verabschiedung $name";