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Gunnar Bittersmann
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Gunnar Bittersmann
Hallo,
ich habe folgende Gleichung, die ich nach x umstellen soll.
[latex]\frac{\sqrt{5x + 1}}{\sqrt{3x - 5}} = 2\sqrt{x - 2}[/latex]
[latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4(x - 2)[/latex]
[latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4x - 8[/latex]
[latex]5x + 1 = (4x - 8)(3x - 5)[/latex]
[latex]5x + 1 = 12x^{2} - 24x - 20x + 40[/latex]
[latex]5x + 1 = 12x^{2} - 48x + 40[/latex]
[latex]0 = 12x^{2} - 53x + 39[/latex]
[latex]0 = x^{2} - \frac{53}{12}x + \frac{39}{12}[/latex]
[latex]
x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{53}{24}\pm\sqrt{ \left(\frac{53}{24}\right)^2 - \frac{39}{12} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{53}{24}\pm\sqrt{\frac{2809}{576} - \frac{39}{12} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{53}{24}\pm\sqrt{\frac{2809}{576} - \frac{1872}{576} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{53}{24}\pm\sqrt{\frac{937}{576} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{1272}{576}\pm\frac{\sqrt{937}}{576}
[/latex]
[latex]
x_{1} = 2,262487757...
[/latex]
[latex]
x_{2} = 2,15417891...
[/latex]
wenn ich in der Ausgangsformel x1 oder x2 einsetze, stimmt die Gleichung nicht.
Wo habe ich ein Fehler gemacht?
Danke
Karl
Hallo.
Hier ist dein Fehler:
[latex]5x + 1 = 12x^{2} - 24x - 20x + 40[/latex]
[latex]5x + 1 = 12x^{2} - 48x + 40[/latex]
[latex]-24x - 20x[/latex] ergibt [latex]-44x[/latex] und nicht [latex]-48x[/latex]
mfg
Hi!
Hier ist dein Fehler:
»» [latex]5x + 1 = 12x^{2} - 24x - 20x + 40[/latex]
»»
»» [latex]5x + 1 = 12x^{2} - 48x + 40[/latex][latex]-24x - 20x[/latex] ergibt [latex]-44x[/latex] und nicht [latex]-48x[/latex]
mit der Korrektur stimmt meine Gleichung immer noch nicht.
[latex]\frac{\sqrt{5x + 1}}{\sqrt{3x - 5}} = 2\sqrt{x - 2}[/latex]
[latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4(x - 2)[/latex]
[latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4x - 8[/latex]
[latex]5x + 1 = (4x - 8)(3x - 5)[/latex]
[latex]5x + 1 = 12x^{2} - 24x - 20x + 40[/latex]
[latex]5x + 1 = 12x^{2} - 44x + 40[/latex]
[latex]0 = 12x^{2} - 49x + 39[/latex]
[latex]0 = x^{2} - \frac{49}{12}x + \frac{39}{12}[/latex]
[latex]
x_{1,2} = - \frac{p}{2}\pm\sqrt{ \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\sqrt{ \left(\frac{49}{24}\right)^2 - \frac{39}{12} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\sqrt{\frac{2401}{576} - \frac{39}{12} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\sqrt{\frac{2401}{576} - \frac{1872}{576} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\sqrt{\frac{529}{576} }
[/latex]
[latex]
x_{1,2} = \frac{1176}{576}\pm\frac{\sqrt{529}}{576}
[/latex]
[latex]
x_{1} = \frac{1199}{576}
[/latex]
[latex]
x_{2} = \frac{1153}{576}
[/latex]
@@Karl:
nuqneH
[latex]\frac{\sqrt{5x + 1}}{\sqrt{3x - 5}} = 2\sqrt{x - 2}[/latex]
[latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4(x - 2)[/latex]
Dass du hier nicht äquivalent umgeformt hast, ist dir bewusst?
Vielleicht solltest du erstmal den Definitionsbereich der Ausgangsgleichung bestimmen? NIcht, dass du dich am Ende wunderst, dass eine gefundene Lösung doch nicht Lösung ist.
[latex]x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\sqrt{\frac{529}{576} }[/latex]
[latex]x_{1,2} = \frac{1176}{576}\pm\frac{\sqrt{529}}{576}[/latex]
Nochmal bitte.
Qapla'
Hi!
»» [latex]\frac{\sqrt{5x + 1}}{\sqrt{3x - 5}} = 2\sqrt{x - 2}[/latex]
»»
»» [latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4(x - 2)[/latex]Dass du hier nicht äquivalent umgeformt hast, ist dir bewusst?
ne :-)
ich würde gerne google benutzen, jedoch fehlen mir entsprechende Suchwörter.
Ich muss mal schauen, wo ich meine alten (ca. 20 Jahre alt ;-)) Schulunterlagen habe.
Vielleicht solltest du erstmal den Definitionsbereich der Ausgangsgleichung bestimmen? NIcht, dass du dich am Ende wunderst, dass eine gefundene Lösung doch nicht Lösung ist.
Wie stellt man in latex ein Definitionsbereich dar?
Wenn ich mich richtig erinnere und richtig gerechnet habe, darf x auf der linken Seite nicht [latex]\frac{5}{3}[/latex] und auf der rechten Seite muss x größer gleich 2 sein. Insgesamt muss x also größer gleich 2 sein.
»» [latex]x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\sqrt{\frac{529}{576} }[/latex]
»»
»» [latex]x_{1,2} = \frac{1176}{576}\pm\frac{\sqrt{529}}{576}[/latex]
[latex]x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\sqrt{\frac{529}{576} }[/latex]
[latex]x_{1,2} = \frac{49}{24}\pm\frac{23}{24}[/latex]
[latex]
x_{1} = 3
[/latex]
[latex]
x_{2} = \frac{13}{12}
[/latex]
die 2. Lösung kann wegen den Definitionsbereich keine Lösung sein.
Wenn ich die 3 in der Ausgangsgleichung einsetze, erhalte ich auf beiden Seiten 2.
Karl
Hi Karl!
Wenn ich die 3 in der Ausgangsgleichung einsetze, erhalte ich auf beiden Seiten 2.
Also hast du deine Lösung bestätigt.
MfG H☼psel
Hi
»» Wenn ich die 3 in der Ausgangsgleichung einsetze, erhalte ich auf beiden Seiten 2.
Also hast du deine Lösung bestätigt.
ja, jedoch verstehe die Anmerkung von Gunnar Bittersmann nicht
»» [latex]\frac{\sqrt{5x + 1}}{\sqrt{3x - 5}} = 2\sqrt{x - 2}[/latex]
»»
»» [latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4(x - 2)[/latex]Dass du hier nicht äquivalent umgeformt hast, ist dir bewusst?
wie müßte ich es denn "richtig" umformen?
Karl
@@Karl:
nuqneH
»» Dass du hier nicht äquivalent umgeformt hast, ist dir bewusst?
wie müßte ich es denn "richtig" umformen?
Du hast richtig umgeformt. Aber nicht äquivalent.
Äquivalente Umformungen sind solche, die die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändern. Quadrieren ist (je nach Definitionsbereich) keine äquivalente Umformung: es können Lösungen hinzukommen, hier 13/12.
Deshalb muss nach nichtäquivalenten Umformungen immer eine Probe gemacht werden, ob die gefundenen Lösungen auch wirklich Lösungen der Ausgangsgleichung sind.
Aber natürlich ist es richtig, bei Wurzelgleichungen zu quadrieren.
Qapla'
Hi!
»» »» Dass du hier nicht äquivalent umgeformt hast, ist dir bewusst?
»»
»» wie müßte ich es denn "richtig" umformen?Du hast richtig umgeformt. Aber nicht äquivalent.
wie formt man diese Gleichung äquivalent um?
Mir war/ist nichts besseres eingefallen als die Gleichung zu quadrieren.
bei folgender Vorgehensweise [latex]\sqrt{5x + 1} = 2\left(\sqrt{x - 2}\right)\left(\sqrt{3x - 5}\right)[/latex] lege ich mir die Karten beim Ausmultiplizieren der rechten Seite.
Wie multipliziert man die rechte Seite aus?
Karl
@@Karl:
nuqneH
»» Du hast richtig umgeformt. Aber nicht äquivalent.
wie formt man diese Gleichung äquivalent um?
Gar nicht.*
Mir war/ist nichts besseres eingefallen als die Gleichung zu quadrieren.
Ist ja auch richtig. Sagte ich doch.
Qapla'
* Wenn man den Definitionsbereich beachtet, dann ist Quadrieren hier eine äquivalente Umformung. Der Definitionsbereich der Ausgangsgleichung ist (wenn man bei den reeelen Zahlen bleibt) x ≥ 2. Also ist 13/12 auch gar keine Lösung der umgeformten Gleichung, weil 13/12 gar nicht im Definitionsbereich liegt.
Tach,
»» [latex]\frac{\sqrt{5x + 1}}{\sqrt{3x - 5}} = 2\sqrt{x - 2}[/latex]
»»
»» [latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4(x - 2)[/latex]Dass du hier nicht äquivalent umgeformt hast, ist dir bewusst?
wie müßte ich es denn "richtig" umformen?
du hast richtig umgeformt, nur hat [latex]\frac{5x + 1}{3x - 5} = 4(x - 2)[/latex] in den reellen Zahlen mehr Lösungen als [latex]\frac{\sqrt{5x + 1}}{\sqrt{3x - 5}} = 2\sqrt{x - 2}[/latex]. Also mußt du, wie du es getan hast du einsetzen ermitteln, ob deine gefundenen Lösungen auch Lösungen der Ausgangsgleichungen sind oder gleich einen algebraisch abgeschlossenen Zahlenkörper verwenden, für [latex]x \in \mathbb{C}[/latex] ist auch [latex]\frac{13}{12}[/latex] eine Lösung.
mfg
Woodfighter
@@Jens Holzkämper:
nuqneH
für [latex]x \in \mathbb{C}[/latex] ist auch [latex]\frac{13}{12}[/latex] eine Lösung.
Nein.
[latex]\frac{1}{3i} \sqrt{33} \ne \frac{1}{3} i \sqrt{33}[/latex]
(Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet.)
Qapla'
Tach,
[latex]\frac{1}{3i} \sqrt{33} \ne \frac{1}{3} i \sqrt{33}[/latex]
(Ich hoffe, ich hab mich nicht verrechnet.)
[latex]\frac{1}{i}=-i[/latex], ich würde auf einen Vorzeichenfehler tippen.
mfg
Woodfighter
@@Jens Holzkämper:
nuqneH
[latex]\frac{1}{i}=-i[/latex]
Das ist mir klar.
ich würde auf einen Vorzeichenfehler tippen.
Ich würde nicht auf einen Fehler tippen, sondern darauf, dass eben linke und rechte Seite sich im Vorzeichen unterscheiden. Dass also 13/12 nicht Lösung der Gleichung ist.
Qapla'
Tach,
ich würde auf einen Vorzeichenfehler tippen.
Ich würde nicht auf einen Fehler tippen, sondern darauf, dass eben linke und rechte Seite sich im Vorzeichen unterscheiden. Dass also 13/12 nicht Lösung der Gleichung ist.
der Vorzeichenfehler ist gar kein Fehler, [latex]\sqrt{33}[/latex] = hat in [latex]\mathbb{C}[/latex] exakt die gleichen _zwei_ Lösungen wie [latex]-\sqrt{33}[/latex].
mfg
Woodfighter
@@Jens Holzkämper:
nuqneH
der Vorzeichenfehler ist gar kein Fehler, [latex]\sqrt{33}[/latex] = hat in [latex]\mathbb{C}[/latex] exakt die gleichen _zwei_ Lösungen wie [latex]-\sqrt{33}[/latex].
Da scheiden sich die Geister.
Für mich ist z = ⁿ√a auch in ℂ _eine_ Zahl.
„Anders als bei reellen Zahlen kann man nicht so einfach eine der Wurzeln als _die_ Wurzel auszeichnen […] Man kann jedoch eine (holomorphe) n-te Wurzelfunktion für komplexe Zahlen, die keine nichtpositiven reellen Zahlen sind, über den Hauptzweig des komplexen Logarithmus definieren […]“ [Wikipedia]
(Allerdings steht an anderer Stelle: „Eine Zahl hat also n komplexe n-te Wurzeln.“)
Qapla'
Tach,
Da scheiden sich die Geister.
es hat schon seinen Grund, warum wir zum alltäglichen Rechnen lieber die reellen Zahlen nehmen ;-)
Für mich ist z = ⁿ√a auch in ℂ _eine_ Zahl.
Aber auf welche der n möglichen beschränkst du dich dann?
mfg
Woodfighter
Tach,
Aber auf welche der n möglichen beschränkst du dich dann?
ergänzend: Mir hat schon in der Schule damals die rein positive Definition der Wurzeln nicht gefallen, funktioniert super, solange man nur die Quadratwurzel hat, fällt aber in sich zusammen, sobald man Dinge wie [latex]-2=\sqrt[3]{-8}[/latex] unterbringen will: [latex]-2=\sqrt[3]{-8}\ne\sqrt[6]{(-8)^2}=\sqrt[6]{64}=+2[/latex].
mfg
Woodfighter
@@Jens Holzkämper:
nuqneH
fällt aber in sich zusammen, sobald man Dinge wie [latex]-2=\sqrt[3]{-8}[/latex] unterbringen will
Will man ja nicht. ;-)
Qapla'
@@Jens Holzkämper:
nuqneH
»» Für mich ist z = ⁿ√a auch in ℂ _eine_ Zahl.
Aber auf welche der n möglichen beschränkst du dich dann?
Auf die mit dem kleinsten nichtnegativen Argument. Also die auf der positiven reellen Achse bzw. von dort ausgehend die entgegen dem Uhrzeigersinn erste auf dem Kreis.
Was denn auch mit der Definition der Wurzel im Reellen übereinstimmt und erklärt, warum ∛-8 = 1 + i√3 und nicht -2 ist. [Wikipedia]
Qapla'
Tach,
Was denn auch mit der Definition der Wurzel im Reellen übereinstimmt und erklärt, warum ∛-8 = 1 + i√3 und nicht -2 ist. [Wikipedia]
und gleichzeitig den Vorteil der algebraischen Abgeschlossenheit wieder vernichtet.
mfg
Woodfighter
Moin.
»» Was denn auch mit der Definition der Wurzel im Reellen übereinstimmt und erklärt, warum ∛-8 = 1 + i√3 und nicht -2 ist. [Wikipedia]
und gleichzeitig den Vorteil der algebraischen Abgeschlossenheit wieder vernichtet.
Hä? Die Zahl der Nullstellen eines Polynoms bzw. Lösungen einer algebraischen Gleichung ist unabhängig von der Definition einer Wurzelfunktion: schon im Reellen ist Wurzelziehen i.A. keine äquivalente Umformung!
Und die Auszeichnung einer speziellen Lösung als 'die Wurzel' ist gerechtfertigt, wenn man [latex]^n\sqrt x = x^{\frac 1 n}[/latex] berücksichtigt, z.B.:
[latex]^3\sqrt{-8} = (-8)^{\frac 1 3} = (8\exp{i\pi})^{\frac 1 3} = 8^{\frac 1 3}\exp{i\frac \pi 3}=2(\cos{\frac \pi 3} + i\sin{\frac \pi 3}) = 2(\frac 1 2 + i \frac 1 2 \sqrt 3) = 1 + i \sqrt 3[/latex]
Christoph
Tach,
Hä? Die Zahl der Nullstellen eines Polynoms bzw. Lösungen einer algebraischen Gleichung ist unabhängig von der Definition einer Wurzelfunktion
natürlich, diese braucht keine Wurzel. Habe ich allerdings eine Wurzel, die so funktioniert, wie du es möchtest, kann ich wieder Gleichungen aufschreiben, die keine Lösung haben, die mit der mehrdeutigen Wurzel lösbar sind.
Ich verabschiede ich also lieber von der Wurzel als Funktion, wenn ich dafür, jede Gleichung mit beliebigen Potenzen, Wurzeln und Grundrechenarten, die ich aufschreibe, auch lösen kann.
mfg
Woodfighter
@@Christoph:
nuqneH
[latex]^n\sqrt x = x^{\frac 1 n}[/latex]
BTW, n-te Wurzel in LaTeX ist \sqrt[n] (Oxymoron-Alarm!):
[latex]\sqrt[n] x = x^{\frac 1 n}[/latex]
Qapla'
Jeez... http://forum.de.selfhtml.org/?t=187296&m=1244699
