@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die Lösungen x ∈ ℝ

Hehe, wenn da steht „die Lösungen“, dann sind alle Lösungen gemeint.

Eine kubische Gleichung mit reellen Koeffizienten hat mindestens eine reelle Lösung; kann aber auch drei haben. Wenn man eine reelle Lösung gefunden hat, sollte man sich auf die Suche nach den anderen beiden machen und diese entweder finden oder nachweisen, dass es sie nicht gibt.

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@@Gunnar Bittersmann

Gesucht sind die Lösungen x ∈ ℝ

a) $$8^x + 2^x = 130$$

$$8^x + 2^x = 2^{3x} + 2^x = \left( 2^x \right)^3 + 2^x = 130$$

Wir substituieren $$2^x =: t$$ und erhalten t³ + t = 130. Durch genaues Hinkucken 😉 findet man t₁ = 5.

Polynomdivision: (t³ + t − 130) : (t − 5) = t² + 5t + 26, was wegen (⁵⁄₂)² − 26 < 0 keine reellen Nullstellen hat.

Erwähnenswert die Argumentation von @ottogal: Die Ableitung 3t² + 1 ist im ganzen Bereich positiv; t³ + t − 130 also streng monoton steigend und hat demzufolge nur eine reelle Nullstelle.

$$2^x = 5$$ nach x aufgelöst ergibt x = log₂ 5.

Und damit’s nicht bloß Mathematik zum Freitagvormittag wird, gleich noch eine:

b) $$9^x - 6^x = 4^x$$

Sieht auf den ersten Blick komplizierter aus, weil 3 Terme mit x im Exponenten involviert sind. Wir teilen durch $$4^x \ne 0$$:

$$\left( \frac{9}{4} \right)^x - \left( \frac{6}{4} \right)^x = \left( \frac{3}{2} \right)^{2x} - \left( \frac{3}{2} \right)^x = 1$$

und schon sieht’s nicht mehr so kompliziert aus. Wir substituieren $$\left( \frac{3}{2} \right)^x =: t$$ und erhalten t² − t = 1 mit den Lösungen ½ ± ½√5 (Hallo, goldener Schnitt, da bist du ja wieder!), wobei die negative Lösung wegen t > 0 entfällt.

$$x = \log_\frac{3}{2} \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right) = \dfrac {\ln \frac 12 \left( 1 + \sqrt5 \right)}{\ln \frac{3}{2}} = \dfrac {\ln \left( 1 + \sqrt5 \right) - \ln2}{\ln3 - \ln2} ≈ 1.1868$$

(Quellen: YouTube, wobei man beide Videos mit mindestens doppelter Geschwindigkeit kucken sollte – wenn überhaupt. a, b)

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