echo $begrüßung;

Kann mir von Euch jemand einen Tipp geben, woher der Unterschied kommt?

Das onchange-Eregnis von input type=text wird nicht ausgeführt, wenn der Inhalt programmgesteuert geändert wird. Dort solltest du weiterforschen. Mir scheint, dass du dieses Verhalten voraussetzt, und du gern abgleich_nmb() aufgerufen haben möchtest.

Um solche Fehler zu finden, ist es meist hilfreich, wenn du versuchst, den Fehler in einem Minimalscript nachzuvollziehen. Dann müssen sich auch Supportleistende nicht durch einen Codeberg wühlen, der mit dem Fehler nicht im Zusammenhang steht.

echo "$verabschiedung $name";